Режим стабилизации спутника означает поддержание нулевой угловой скорости. Такой режим необходим, например, для получения четких снимков или их передачи на наземный пункт приема, когда время передачи данных продолжительно и не допустимо отклонение антенны спутника от направления на наземный пункт приема данных. Также описанная в этом уроке теория подходит для режима поддержания любой требуемой угловой скорости, а не только нулевой, для таких задач как отслеживание подвижного объекта.

Изменять угловую скорость спутника можно с помощью маховиков, реактивных двигателей, электромагнитных катушек, двигателей - гиродинов. В этом примере мы рассмотрим управление управляющим моментом с помощью маховика. Действие этого устройства основано на законе сохранения момента импульса. Например, когда двигатель-маховик раскручивается в одну сторону, то космический аппарат (КА), соответственно, начинает вращаться в другую сторону под действием такого же раскручивающего момента, но направленного в противоположную сторону в соответствии с третьим законом Ньютона. Если под влиянием внешних факторов КА начал разворачиваться в определённом направлении, достаточно увеличить скорость вращения маховика в ту же сторону и нежелательный поворот КА прекратится, вместо спутника вращательный момент «вберет» в себя маховик. Получать информацию об угловой скорости спутника будем с помощью датчика угловой скорости. В этом примере мы рассмотрим как по показаниям датчика угловой скорости и данных о частоте вращения маховика рассчитать управляющие команды для маховика, чтобы спутник был стабилизирован или поддерживал требуемую угловую скорость.

Аналогом закона сохранения импульса для вращательного движения является закон сохранения момента импульса или закон сохранения кинетического момента:

$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{J}_{i}}\cdot {{\omega }_{i}}}=const \label{eq:1}$

Вообще вращательное движение спутника описывается законами схожими с законами известными для поступательного движения. Так, например, для каждого параметра в поступательном движении есть аналогичный параметр для вращательного движения:

Законы движения также выглядят аналогичным образом

Запишем закон сохранения кинетического момента системы спутник+маховик для моментов времени «1» и «2»:

${{J}_{s}}\cdot {{\omega }_{s1}}+{{J}_{m}}\cdot {{\omega }_{m1}}={{J}_{s}}\cdot {{\omega }_{s2}}+{{J}_{m}}\cdot {{\omega }_{m2}}$

Абсолютная скорость маховика, т.е. скорость маховика в инерциальной системе координат, например, связанной с Землей, представляет собой сумму угловой скорости спутника и угловой скорости маховика относительно спутника, т.е. относительной угловой скорости маховика:

${{\omega }_{mi}}={{\omega }_{si}}+{{{\omega }'}_{mi}}$

Обращаем внимание, что маховик может измерять собственную угловую скорость относительно корпуса спутника или относительную угловую скорость.

Выразим угловую скорость маховика, которую необходимую задать

${{J}_{s}}\cdot {{\omega }_{s1}}+{{J}_{m}}\cdot \left( {{\omega }_{s1}}+{{{{\omega }'}}_{m1}} \right)={{J}_{s}}\cdot {{\omega }_{s2}}+{{J}_{m}}\cdot \left( {{\omega }_{s2}}+{{{{\omega }'}}_{m2}} \right) $

$ \left( {{J}_{s}}+{{J}_{m}} \right)\left( {{\omega }_{s1}}-{{\omega }_{s2}} \right)=-{{J}_{m}}({{\omega }_{m1}}-{{\omega }_{m2}}) $

$ {{\omega }_{m2}}={{\omega }_{m1}}+\frac{{{J}_{s}}+{{J}_{m}}}{{{J}_{m}}}\left( {{\omega }_{s1}}-{{\omega }_{s2}} \right) $

Обозначим отношение $\frac{{{J}_{s}}+{{J}_{m}}}{{{J}_{m}}}$ как $k_d$.

Для работы алгоритма необязательно знать точное значение $\frac{{{J}_{s}}+{{J}_{m}}}{{{J}_{m}}}$, т.к. маховик не может мгновенно установить требуемую угловую скорость. Также в процесс управления вмешиваются шумы измерений: угловая скорость спутника измеренная с помощью датчика угловой скорости не является точной, т.к. в измерениях всегда есть постоянная ошибка и шум измерений. Следует учесть, что измерения угловой скорости и выдача команд маховику происходят с некоторым минимальным шагом во времени. Все эти ограничения приводят к тому, что $k_d$ подбирается экспериментальным путем или строятся подробные компьютерные модели, которые учитывают все вышеописанные ограничения. В нашем случае коэффициент $k_d$ будем подбирать экспериментально.

$ {{\omega }_{m2}}={{\omega }_{m1}}+{{k}_{d}}\left( {{\omega }_{s1}}-{{\omega }_{s2}} \right) $

Угловая скорость $\omega_{s2}$ в момент времени «2» является целевой угловой скоростью, обозначим ее $\omega_{s\_goal}$. Таким образом, если необходимо что спутник поддерживал угловую скорость $\omega_{s\_goal}$, то зная текущую угловую скорость спутника и текущую угловую скорость маховика возможно рассчитать желаемую скорость маховика для поддержания режима «вращения с постоянной скоростью»:

${{\omega }_{m2}}={{\omega }_{m1}}+{{k}_{d}}\left( {{\omega }_{s1}}-{{\omega }_{{s\_goal}}} \right)$

Используя режим вращения с постоянной скоростью можно заставить спутник повернуться на любой угол если вращать спутник с постоянной скоростью определенное время. Тогда время, которое необходимо вращать спутник с постоянной скоростью $\omega_{s\_goal}$, чтобы развернуться на требуемый угол $\alpha$ определяется делением этих величин:

$t=\frac{\alpha}{\omega_{{s\_goal}}}$

Если требуется чтобы спутник был застабилизирован, то $\omega_{s\_goal}=0$ и выражение приобретает более простой вид:

${{\omega }_{m2}}={{\omega }_{m1}}+{{k}_{d}}\cdot {{\omega }_{s1}}$

stab.c

	 #include <stdio.h>
	 #include <stdint.h>
	 #include "libschsat.h"
         void control(void){
 
	 float gyro_x = 0, gyro_y = 0, gyro_z = 0;
	 uint16_t tmp=0;
 
	 gyro_set_offset(0, 4.6, -2.0, 0.7); //эти значения будут другими
 
	 float gyro_set = 0.0;
	 float p_koeff = 1.0;
	 float motor_set = 0;
 
	 for (int i = 0; i < 300; i++)
	 {
		gyro_request_raw(tmp, &gyro_x, &gyro_y, &gyro_z); // gyro returns degrees per sec!
		printf("Gyro: %6f\t  Wheel_rpm: %6f\n", gyro_z, motor_set);
 
		// simple P-controller
		float delta_gyro = (gyro_set - gyro_z );
		if (fabs(delta_gyro) > 0.001)
		{
			motor_set += delta_gyro * p_koeff;
		}
		motor_set_speed(0, motor_set);
		mSleep(100);
	 }
	 motor_set_speed(0, 0);
	 // set telemetry period 1 sec
	 puts("Job done!");
    }

Рисунок 1. Пример данных, полученных в процессе стабилизации

В этой программе для стабилизации спутника использован пропорциональный закон управления. Принцип действия заключается в том, что регулятор вырабатывает управляющее воздействие на объект пропорционально величине ошибки (чем больше ошибка delta_gyro, тем больше изменение скорости вращения маховика) (рисунок 2):

Рисунок 2. Пропорциональный регулятор

1. Измените программу так, чтобы спутник вращался с постоянной скоростью.
2. Измените программу так, чтобы спутник работал по следующей циклограмме:
   • стабилизация в течении 10 секунд
   • разворот на 180 градусов за время 30 секунд
   • снова стабилизация в течении 10 секунд